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数形结合便利解题 加强数形结合,进步解题才能加强数形结合,进步解题才能

李惠兰数形结合的思想方法能交流“数”和“形”之间的内在联系,经过对图形的知道、“数”和“形”之间的转化,能够进步思想的灵活性、形象性、直观性,然后使得问题简略处理。在解题的过程中,经过数形结合,依据问题的不同特色,使用“数”和“形”各自的优势,把数量联系问题转化为图形性质问题来处理,或许把图形性质问

李惠兰

数形结合的思想方法能交流“数”和“形”之间的内在联系,经过对图形的知道、“数”和“形”之间的转化,能够进步思想的灵活性、形象性、直观性,然后使得问题简略处理。

在解题的过程中,经过数形结合,依据问题的不同特色,使用“数”和“形”各自的优势,把数量联系问题转化为图形性质问题来处理,或许把图形性质问题转化为数学联系问题来研讨,将的数学言语与直观的图形相结合,使杂乱问题简略化,笼统问题具体化,然后化杂乱为简略,化不知道为已知,最终使问题得已处理。

一、由数思形,数形结合,用形处理数的问题

(1)使用数轴理本领正负、巨细的概念,便具有了几许含义,一个数的绝对值就是数轴上表明这个数的点与原点的间隔。

例1:实数a,b在数轴上的方位如图1所示

化简:|a+b|+= .

剖析:由图1可知a<0,b>0,a+b>0,b-a>0.

∴原式=-a-b+b-a=-2a.

点评:解题的关键是读懂数轴,把图形言语转化成解题所要求的数据。凭借数轴能够处理实数问题,还能够处理不等式(组)问题。

(2)解直角三角形的使用更是数形结合的典型资料。

例2 已知a,b,c为Rt△ABC的三边,其间∠C=90°,化简:|a-b-c|+++.

剖析:这儿a,b,c是直角三角形三边,具有几许含义,如图2,由三角形三边联系定理:ac,c

勾股定理:a2+b2=c2.

因而,原式=-(a-b-c)+(a+b+c)+c-(c-a-b)=a+3b.

(3)平面直角坐标系树立后使有序实数对具有了几许含义,由点可确定点的坐标,由坐标可确定点,一次函数、二次函数、反比例函数只要使用它们的图象,才干更深刻地了解它们的性质.

例3 如图3,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A和点B。

(1)求该二产欠函数的表达式;

(2)写出该抛物线的对称轴及极点坐标;

(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其间m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的间隔.

剖析:(1)调查图象,得A(-1,-1),B(3,-9).

得方程组

解得

∴该二次函数的表达式为y=x2-4x-6.

(2)对称轴为x=2;极点坐标为(2,-10).

(3)将(m,m)代入表达式,解方程得m1=-1,m2=6.

∵m>0, ∴m=6

∵点P与点Q关于对称轴x=2对称,

∴点Q到x轴的间隔为6.

点评:解题的关键是经过点的坐标掌握函数的图象及其性质。借点平面直角坐标系,把数量联系经过图象直观化、形象化、动态化,一起又能够依据图象特征及相關常识探求隐含的数量联系,将图象特征具体化。

(4)凭借图表解代数问题。

例4 小王购买了一套经济适用房,他预备将地上铺上地砖,地上结构如图所示。依据图中的数据(单位:m),回答下面问题:

(1)用含x、y的代数式表明地上总面积;

(2)已知客厅面积比卫生间面积多21m2,且地上总面积是卫生间面积的15倍。若铺1m2地砖的均匀费用为80元,那么铺地砖的总费用为多少元?

剖析:(1)地上总面积为:6x+2y+18(m2).

(2)依据题意,得解得

∴地上总面积为6x+2y+18=45.

∴铺地砖的总费用为:45×80=3600(元)。

点评:解题的关键是了解题意,读懂图表。经过对图表中数据信息的剖析、比较、判别和概括,澄清数据间的内在联系,一身是胆我学常识(主要是方程(组)、不等式(组)、函数及计算常识),正确树立数学模型处理问题。

二、由形思数,形数结合,用数处理形的问题

(1)使用数来处理几许的面积问题。

例5 如图5所示,已知矩形ABCD的边BC上一点P,CD边上一点Q,连接AP,PQ,AQ,得S△ABP=2, S△PCQ=3, S△ADQ=4,求矩形ABCD的面积。

剖析:由形思数,形数结合,因为四边形ABCD是矩形,可知△ABP,△PCQ,△ADQ都为直角三角形,又由S△ABP=2, S△PCQ=3, S△ADQ=4,能够得到它们的对应式子为AB·BP=4,PC·CQ=6,DQ·AD=8,这样可使用解方程组的方法来求解。

设AB=x,BC=y,CQ=n,可列方程组:

(1)+(2)+(3)并整理得,得m(x-n)=18-xy.(4)

(1)×(3),得xy·m(x-n)=32. (5)

由(4)代入(5),得xy(18-xy)=32,

即(xy)2-18xy+32=0,

解得:xy=16或xy=2(不合题意,舍去)。

所以,矩形ABCD的面积是16.

(2)使用数来处理圆的有关求证问题。

例6:如图6,已知:⊙O中三弦AB,CD,EF两两相交于点P,Q,R,而且AP=EQ=RD,CP=QB=RF,求证:△RQP是等边三角形。

剖析:此题用纯几许法证明难度较大,可从数量联系上来考虑:设AP=EQ=RQ=x,CP=QB=RF=y,PQ=a,QR=b,RP=c,

由相交弦定理,得化简得

将三式相加,得(a+b+c)x=(a+b+c)y,

∴x=y,可得a=b=c,

∴△RQP是等边三角形。

从以上两例能够看出,形的直觉短少严厉性,形少量时难

入微。

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李惠兰数形结合的思想方法能交流“数”和“形”之间的内在联系,经过对图形的知道、“数”和“形”之间的转化,能够进步思想的灵活性、形象性、直观性,然后使得问题简略处理。在解题的过程中,经过数形结合,依据问题的不同特色,使用“数”和“形”各自的优势,把数量联系问题转化为图形性质问题来处理,或许把图形性质问