数学选修2-2导数的概念教案 浅谈数学中导数的概念及导数的使用

谭清华

摘 要：本文以导数概念作为切入点，论述导数在几许常识和函数常识中的使用。

关键词：数学 导数概念 导数使用

导言

导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要根底，也是学习高等数学的根底地点。在中学数学中，导数被广泛使用，是历年高考数学的要点内容。把握导数的根底常识和使用技术，以便更好地处理中学数学问题，一向以来是中学教师和学生的重视的要点地点。可是因为导数具有笼统、杂乱等特色，对学生而言仍是学习数学中的一个难点常识，况且导数还与几许常识、函数常识等其他常识之间有着严密的联络。学好导数常识是一线中学数学教师所要面临的重要问题，也是数学教育的根底要求。

一、导数的概念

导数是数学领域中的重要概念，隶属于微积分的领域。导数是函数的部分性质。一个函数在某一点的导数描绘了这个函数在这一点邻近的改变率[1]。假如函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的实质是经过极限的概念对函数进行部分的线性迫临。例如在运动学中，物体的位移关于时刻的导数就是物体的瞬时速度。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上发生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a假如存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）。知道到导数，关于函数的增减性的知道和学习具有重要的含义。一般来说，y=f（x）在（a，b）数值规模内可导，假如在（a，b）规模内，f（x）的取值一向大于零

二、导数的使用

1.导数在几许方面的使用

在几许学习中，导数具有重要的效果和含义。使用导数概念来知道和学习相关的几许常识是导数概念的重要拓宽，更是数学学习中的要点内容。微积分学习的要点常识就是导数，导数与数轴之间有着严密的联络，在必定区域内的x的取值依据相应的规则都有相对应的y值，详细而言就是设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有着必定的界说，当自变量x在在这个区域取值的时分，都有相应地函数获得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几许含义表明函数曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率。可见，求导的函数必定是接连的，不接连的函数是不能进行求导的[2]。在几许常识中，知道曲线的切线时，因为切线方程与坐标数轴之间是一一对应的。在求解曲线方程式，既可以经过导数进行求解，以便得到区现在一向点的切线的斜率，也可以假定已知切线的斜率和对应切点的坐标，是使用点斜式来求出相应的切线方程。

如图1，曲线C是函数y=f（x）的图象，P（x0，y0）是曲线C上的恣意一点，Q（x0+Δx，y0+Δy）为P邻近一点，PQ为C的割线，PM//x轴，QM//y轴，β为PQ的倾斜角.

当点Q沿着曲线逐步向点P挨近时，割线PQ绕着点P逐步滚动的状况，也就是说，当点Q沿着曲线无限挨近点P即Δx→0时，割线PQ有一个极限方位PT.则咱们把直线PT称为曲线在点P处的切线。设切线的倾斜角为α，那么当Δx→0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率。这个概念为求曲线上某点切线的斜率供给了一种办法，一起也直接论述了切线斜率的实质—函数在x=x0处的导数。

如实例：求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1，2）处的切线方程.

因此，切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x.

可见，要求曲线在某点处的切线方程的时分，可以依照这种思路进行回答，“先使用切线斜率的界说求出切线的斜率，然后使用点斜式求切线方程”。

三、在函数方面的使用

1.函数的单调性问题

在函数的学习过程中，使用导数来知道和判别函数的增减性，具有重要的现实含义和效果。这也是导数在改变曲线中的一种几许含义的使用。依据导数的几许含义，可以用曲线切线的斜率来解说导数与单调性的联系，假如切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状况，即函数单调递加；假如切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状况，即函数单调递减。从函数的某个区间内来看，f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间内为增（减）函数的充分条件，而不是必要条件。若是在求值过程中，呈现f′（x）=0的状况，不会影响函数f（x）在包括该点的某个区间内的单调性。例如函数f（x）=x3在界说域（-∞，+∞）上是增函数，但由f′（x）=3x2知，f′（0）=0，即并不是在界说域内的恣意一点处都满意f′（x）>0。可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函數的充要条件是：对恣意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于零。

例 函数（且）的单调性

解：函数界说域为R.

其时，

∴函数在上是增函数.

其时，

∴函数在上是减函数.

2.函数的极值问题

函数的极值是指函数f（x）在x取值规模内有界说，假如x=x0处的函数值是x取值规模内的函数值都大，即f（x）f（x0），则称 f（x0）是函数y=f（x）的一个极小值。最大值和最小值在函数中称之为极值。极值是一个部分概念，反映了函数在某一点邻近的巨细状况。使用导数求函数的极值，应该把握以下几点：第一点是要清晰函数的界说域，第二点可以求出相应相应的导数，第三定可以在相应的界说域有用地求出实根，第四组中驻点左右之间的符号。

结语

导数作为数学学学科中的重要组成成分，知道和把握导数在学习数学过程中有着重要的效果和含义。导数具有笼统性、杂乱性等特色，要学好导数，首要就要把握导数的基本概念，从基本概念动身，把握求导公式和求导规律，便于有用的处理数学问题。在数学学习过程中，不难发现，导数常识与函数常识、几许常识有着密切联络，把握好导数常识有助于学好其他常识。因此，在数学学习过程中，把握导数常识显得尤为重要。

参考文献

[1]谢楚舒. 高中数学中导数的概念及导数的使用[J]. 举世市场信息导报， 2016，12（33）：98-98.

[2]张孟， 李小春. 导数的界说在考研数学中的使用[J]. 今世教育实践与教育研究：电子版， 2016，11（06）：159-160.