数列求和的常用办法 数列求和常用的办法

曾益俊

数列是高中数学中的重要常识，又是学习高等数学的根底，是高考常考的内容之一，在高考和各种数学比赛中都占有重要的位置，数列求和是数列的重要内容之一，在求解数列求和问题时所运用的办法离不开问题的本质，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需求必定的技巧。本文将数列求和的常用办法进行了收拾，供我们教育或温习时参阅。

一、直接法

假如给定的是特别的数列，可直接使用公式求和。这是数列求和的最基本的办法。常用的数列求和公式有：

1.等差数列求和公式：；

2.等比数列求和公式：；

3.；

4.；

5.

例1.已知等差数列前10项和是310，前20项和是1220。求Sn。

【解析】 由题意知S10=310，S20=1220

将他们代入公式，

得到

解这个方程组得

所以

二、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列恰当拆开，能分红几个等差、等比或常见的数列和与差的方式，然后对拆开后的数列别离求和，再将其兼并即可求出原数列的和.

例2.已知数列的通项公式为，求其前项和.

[解析]

设

三、裂项相消法

裂项相消法的本质是将所求和式中的通项拆项，然后重新组合，使呈现抵消到达求和意图。常见的拆项还有：

例3. 已知数列，且，求其前项和.

[解析]

四、错位相减法

若是等差数列，是等比数列，求的前项和时，一般用错位相减法。即求和时一般可在已知和式两头都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再將所得到的新式子与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例4. 求和.

[解析]由题意①

的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积。

设②

①-②得

五、倒序相加法

倒序相加法就是把数列正序写与倒序写相加，则对应的两项的和呈现相同的常数，即呈现个（常数），到达求和的意图.对某些前后具有对称性的数列可倒序求和法求其前n项和。

例5.求证：

[解析]设①

把①式右边倒转过来得

又由可得②

①+②得

原命题得证。

六、并项求和法

针对一些特别的数列，将某些项兼并在一起就具有某种特别的性质，在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先“配对”求和，然后再求出。

例6. 求和.

[解析]

当n为奇数时

当n为偶数时

七、通项剖析法

先依据数列的结构及特征进行剖析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规则来求数列的前n项和。这也是数列求和不行忽视的一中重要办法。

例7.

[解析]

关于以上的各种办法，我们应留意领会其中所包含的分类讨论及化归的数学思想办法。当然，数列求和的办法还有许多，我们平常还应多留意总结。endprint